Équations du second degré et racines carrées
L'essentiel du cours (2 notions)
Équations du 2nd degré à coefficients réels
Propriété : Soit $a, b, c \in \mathbb{R}$ ($a \neq 0$) et $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta < 0$, l'équation $az^2 + bz + c = 0$ admet deux solutions complexes conjuguées.
Formule : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \overline{z_1}$
Exemple : Pour $z^2 + 2z + 5 = 0$ : $\Delta = -16 < 0$. $z_1 = -1 - 2i$ et $z_2 = -1 + 2i$.
Racines carrées et équations dans $\mathbb{C}$
Méthode : 1. Pour $\delta^2 = a+ib$ (avec $\delta=x+iy$) : résoudre $x^2-y^2=a$, $x^2+y^2=|a+ib|$ et $2xy$ du signe de $b$. 2. Pour $az^2+bz+c=0$ : calculer $\Delta$, trouver $\delta^2=\Delta$, puis $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$.
Exemple : Pour $z^2 = 3+4i$ : $x^2-y^2=3$ et $x^2+y^2=5 \implies x^2=4, y^2=1$. Avec $2xy>0$, $z = \pm(2+i)$.
On considère l'équation du second degré suivante, où $z$ est l'inconnue complexe et $k$ est un nombre réel :
$$z^2 - 6z + k = 0$$On sait que cette équation admet deux solutions complexes non réelles conjuguées, et que la partie imaginaire de l'une d'entre elles est égale à $4$.
En exprimant les solutions de l'équation en fonction de $k$ à l'aide du discriminant, déterminer la valeur du nombre réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $c$ un nombre réel strictement supérieur à $9$.
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation du second degré :
$$z^2 - 6z + c = 0$$En exprimant les solutions de cette équation en fonction de $c$ à l'aide de son discriminant, déterminer la valeur du réel $c$ pour laquelle la valeur absolue de la partie imaginaire des solutions est égale à $5$.
Saisir la valeur de $c$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :
$$z^2 - 4z + k = 0$$On note $z_1$ et $z_2$ les deux solutions complexes non réelles de cette équation, et $A$ et $B$ leurs points d'images respectifs dans le plan complexe. Sachant que la distance $AB$ est égale à $6$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ :
$$z^2 - 6z + k = 0$$
où $k$ est un nombre réel tel que cette équation admette deux solutions complexes non réelles conjuguées, notées $z_1$ et $z_2$.
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct d'origine $O$, on note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle en $O$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un nombre réel. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation d'inconnue $z$ suivante :
$$z^2 - (4+2i)z + 3 + k + 6i = 0$$Déterminer la valeur réelle du paramètre $k$ pour laquelle la différence entre les parties réelles des deux solutions complexes de cette équation est égale à $4$.
Indiquer la valeur finale de $k$ sous forme d'une fraction irréductible.