Exercice : Équations du second degré et racines carrées

Étape 1

On calcule le discriminant du trinôme $z^2 - 6z + c$ :

Étape 2

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times c = 36 - 4c$$

Étape 3

Comme $c > 9$, on a $4c > 36$, d'où $\Delta < 0$. L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées dans $\mathbb{C}$ :

Étape 4

$$z_1 = \frac{6 - i\sqrt{-(36 - 4c)}}{2} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{6 + i\sqrt{-(36 - 4c)}}{2}$$

Étape 5

On simplifie l'expression sous la racine carrée : $-(36 - 4c) = 4c - 36 = 4(c - 9)$. Comme $\sqrt{4(c - 9)} = 2\sqrt{c - 9}$, il vient :

Étape 6

$$z_{1,2} = \frac{6 \pm 2i\sqrt{c - 9}}{2} = 3 \pm i\sqrt{c - 9}$$

Étape 7

La partie imaginaire de ces solutions est $\pm \sqrt{c - 9}$. La valeur absolue de la partie imaginaire est donc $\sqrt{c - 9}$.

Étape 8

On cherche la valeur de $c$ vérifiant :

Étape 9

$$\sqrt{c - 9} = 5$$

Étape 10

En élevant au carré, on obtient $c - 9 = 25$, d'où $c = 34$. Cette valeur est bien strictement supérieure à $9$.