Exercice : Équations du second degré et racines carrées

Étape 1

On considère l'équation $z^2 - 6z + k = 0$ avec $a = 1$, $b = -6$ et $c = k$.

Étape 2

Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation du second degré :

Étape 3

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 1 \times k = 36 - 4k$$

Étape 4

Puisque l'équation admet deux solutions complexes non réelles, le discriminant $\Delta$ est strictement négatif, ce qui signifie que $36 - 4k < 0$. On a donc :

Étape 5

$$-\Delta = -(36 - 4k) = 4k - 36 > 0$$

Étape 6

Les deux solutions complexes conjuguées de l'équation s'écrivent sous la forme :

Étape 7

$$z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm i\sqrt{4k - 36}}{2}$$

Étape 8

En simplifiant par $2$, sachant que $\sqrt{4k - 36} = \sqrt{4(k - 9)} = 2\sqrt{k - 9}$, on obtient :

Étape 9

$$z = 3 \pm i\sqrt{k - 9}$$

Étape 10

La partie imaginaire de la solution à partie imaginaire positive est $\sqrt{k - 9}$.

Étape 11

D'après l'énoncé, cette partie imaginaire est égale à $4$. On résout l'équation :

Étape 12

$$\sqrt{k - 9} = 4$$

Étape 13

En élevant au carré chaque membre, ce qui est possible car les deux membres sont positifs, on trouve :

Étape 14

$$k - 9 = 16$$

Étape 15

D'où $k = 16 + 9 = 25$.