Étape 1
Soit $k \in \mathbb{R}$. L'équation du second degré $z^2 - (4+2i)z + 3 + k + 6i = 0$ possède pour discriminant complexe : $$\Delta = (-(4+2i))^2 - 4 \times 1 \times (3+k+6i)$$ En développant le carré et la distribution, on obtient : $$\Delta = (16 - 4 + 16i) - 12 - 4k - 24i = -4k - 8i$$
Étape 2
On cherche une racine carrée complexe de $\Delta$ sous la forme $\delta = u + iv$ avec $u, v \in \mathbb{R}$. Par définition, $\delta^2 = \Delta$, ce qui donne les équations suivantes : $$u^2 - v^2 = -4k \quad \text{et} \quad 2uv = -8$$ De plus, l'égalité des modules $|\delta|^2 = |\Delta|$ fournit : $$u^2 + v^2 = \sqrt{(-4k)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16k^2 + 64} = 4\sqrt{k^2+4}$$ En additionnant membre à membre la première et la troisième équation, on trouve : $$2u^2 = 4\sqrt{k^2+4} - 4k \quad \text{ce qui donne} \quad u^2 = 2\sqrt{k^2+4} - 2k$$
Étape 3
Les deux solutions complexes de l'équation initiale s'écrivent : $$z_1 = \frac{(4+2i) - \delta}{2} \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{(4+2i) + \delta}{2}$$ La différence entre les solutions est $z_2 - z_1 = \delta = u + iv$. La différence entre leurs parties réelles est donc : $$|\text{Re}(z_2) - \text{Re}(z_1)| = |u|$$ La condition imposée par l'énoncé équivaut à $|u| = 4$, c'est-à-dire $u^2 = 16$.
Étape 4
En égalant l'expression de $u^2$ obtenue précédemment à $16$, il vient : $$2\sqrt{k^2+4} - 2k = 16 \quad \text{soit} \quad \sqrt{k^2+4} = 8 + k$$ Cette équation nécessite la condition $8 + k \ge 0$, c'est-à-dire $k \ge -8$. En élevant les deux membres au carré, on obtient : $$k^2 + 4 = (8+k)^2$$ $$k^2 + 4 = 64 + 16k + k^2$$ En simplifiant par $k^2$, on arrive à : $$16k = 4 - 64 = -60 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad k = -\frac{60}{16} = -\frac{15}{4}$$ Cette valeur vérifie bien $k \ge -8$ (car $-3{,}75 \ge -8$).
Méthode clé
Pour résoudre une équation du second degré $az^2+bz+c=0$ à coefficients complexes, on exprime son discriminant $\Delta$ puis on cherche ses racines carrées complexes $\delta = u+iv$ en résolvant le système constitué par $\text{Re}(\delta^2)$, $\text{Im}(\delta^2)$ et $|\delta|^2$.
Piège à éviter
Attention à ne pas appliquer la fonction racine carrée réelle $\sqrt{\Delta}$ sur un discriminant complexe non réel. Il faut impérativement chercher un nombre complexe $\delta = u+iv$ tel que $\delta^2 = \Delta$.
