Étape 1
On calcule le discriminant du trinôme $z^2 - 6z + k$ :
Étape 2
$$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times k = 36 - 4k$$
Étape 3
L'équation admet deux solutions complexes non réelles si et seulement si $\Delta < 0$, ce qui équivaut à $36 - 4k < 0$, soit $k > 9$.
Étape 4
Sous cette condition, $-\Delta = 4k - 36 > 0$. Les solutions complexes conjuguées de l'équation sont :
Étape 5
$$z_1 = \frac{6 + i\sqrt{4k - 36}}{2} = 3 + i\sqrt{k - 9}$$
Étape 6
$$z_2 = \frac{6 - i\sqrt{4k - 36}}{2} = 3 - i\sqrt{k - 9}$$
Étape 7
On détermine les longueurs des côtés du triangle $OAB$ formé par l'origine $O$ et les points $A(z_1)$ et $B(z_2)$ :
Étape 8
$$OA^2 = |z_1|^2 = 3^2 + \left(\sqrt{k - 9}\right)^2 = 9 + k - 9 = k$$
Étape 9
$$OB^2 = |z_2|^2 = 3^2 + \left(-\sqrt{k - 9}\right)^2 = k$$
Étape 10
$$AB^2 = |z_2 - z_1|^2 = \left|-2i\sqrt{k - 9}\right|^2 = 4(k - 9) = 4k - 36$$
Étape 11
Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ car $OA = OB$. Il est rectangle en $O$ si et seulement si :
Étape 12
$$AB^2 = OA^2 + OB^2$$
Étape 13
ce qui équivaut successivement à :
Étape 14
$$4k - 36 = k + k$$
Étape 15
$$2k = 36$$
Étape 16
$$k = 18$$
Étape 17
La valeur $k = 18$ vérifie bien la condition $k > 9$.
Méthode clé
Lorsque le discriminant réel $\Delta$ d'une équation du second degré est strictement négatif, les solutions sont conjuguées et s'écrivent $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$. On exprime ensuite les longueurs des côtés sous forme de modules pour traduire la contrainte géométrique.
Piège à éviter
Oublier que la condition de non-réalité des racines impose $\Delta < 0$, ce qui permet d'écrire $\sqrt{-\Delta}$ sans erreur de signe sous le radical.
