Étape 1
Pour que l'équation $z^2 - 4z + k = 0$ admette deux solutions complexes non réelles, son discriminant $\Delta$ doit être strictement négatif.
Étape 2
On calcule le discriminant du polynôme :$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times k = 16 - 4k$$La condition $\Delta < 0$ équivaut à $16 - 4k < 0$, c'est-à-dire $k > 4$.
Étape 3
Pour $k > 4$, on a $-\Delta = 4k - 16 = 4(k - 4) > 0$. Les deux solutions complexes conjuguées de l'équation s'écrivent :$$z_1 = \frac{4 + i\sqrt{4(k - 4)}}{2} = 2 + i\sqrt{k - 4}$$$$z_2 = 2 - i\sqrt{k - 4}$$
Étape 4
La distance $AB$ entre les points d'images $A(z_1)$ et $B(z_2)$ est égale au module $|z_1 - z_2|$. On calcule d'abord la différence :$$z_1 - z_2 = (2 + i\sqrt{k - 4}) - (2 - i\sqrt{k - 4}) = 2i\sqrt{k - 4}$$d'où :$$AB = |z_1 - z_2| = |2i\sqrt{k - 4}| = 2\sqrt{k - 4}$$
Étape 5
D'après l'énoncé, la distance $AB$ est égale à $6$. On obtient ainsi l'équation :$$2\sqrt{k - 4} = 6$$ce qui équivaut à $\sqrt{k - 4} = 3$. En élevant au carré, on obtient $k - 4 = 9$, d'où $k = 13$.
Étape 6
Comme $13 > 4$, cette valeur garantit bien l'existence de deux solutions complexes non réelles. La valeur du réel $k$ est donc $13$.
Méthode clé
Lorsque le discriminant est strictement négatif, exprimer les solutions sous la forme $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$, puis traduire la condition géométrique sur le module pour déterminer le paramètre inconnu.
Piège à éviter
Oublier la condition d'existence des solutions non réelles ($k > 4$) ou confondre la distance $|z_1 - z_2|$ avec $|z_1| - |z_2|$.
