Récurrence et modélisation

Suites arithmético-géométriques

Définition : Une suite $(u_n)$ est arithmético-géométrique s'il existe deux réels $a \neq 1$ et $b \neq 0$ tels que $u_{n+1} = a u_n + b$.

Méthode : 1. Résoudre $r = a r + b$ ($r = \frac{b}{1-a}$). 2. Étudier la suite géométrique $v_n = u_n - r$ de raison $a$. 3. Exprimer $v_n = v_0 a^n$ puis $u_n = v_n + r$.

Exemple : Pour $u_{n+1} = 2u_n + 3$ ($u_0 = 1$) : point fixe $r = -3$. La suite $v_n = u_n + 3$ donne $u_n = 4 \times 2^n - 3$.