Théorème de Gauss et équations $ax + by = c$
L'essentiel du cours (1 notion)
Équations diophantiennes $ax + by = c$
Propriété : L'équation $ax + by = c$ admet des solutions dans $\mathbb{Z}^2$ si et seulement si $\text{PGCD}(a,b)$ divise $c$. La simplification par $\text{PGCD}(a,b)$ donne l'équation équivalente $a'x + b'y = c'$ avec $\text{PGCD}(a',b')=1$.
Méthode : 1. Tester $\text{PGCD}(a,b) \mid c$. 2. Trouver une solution particulière $(x_0,y_0)$ (Euclide étendu ou évidente). 3. Écrire $a'(x-x_0) = -b'(y-y_0)$. 4. Appliquer le théorème de Gauss pour conclure $S = \{(x_0 + k b', y_0 - k a'), k \in \mathbb{Z}\}$.
On considère l'équation diophantienne $(E) : 7x - 4y = c$, où $c$ est un entier relatif inconnu.
On rappelle l'égalité remarquable : $7 \times 3 - 4 \times 5 = 1$.
En exprimant $x$ en fonction de $c$ et d'un entier $k \in \mathbb{Z}$, déterminer la valeur du paramètre $c$ sachant que pour $k = 1$, la valeur de $x$ est égale à $13$.
Saisir la valeur de $c$.
On considère l'équation diophantienne $(E) : 17x - 11y = 5$.
Déterminer le nombre de couples d'entiers naturels $(x, y)$ solutions de l'équation $(E)$ tels que $x \le 100$ et $y \le 100$.
Saisir le nombre de couples solutions.
Un entier naturel $N$ laisse pour reste $7$ dans la division euclidienne par $43$, et pour reste $3$ dans la division euclidienne par $19$.
Par une justification théorique rigoureuse, déterminer le plus petit entier naturel $N \ge 2000$ vérifiant ces deux conditions.
Saisir la valeur exacte de l'entier $N$.