Étape 1
Traduisons les conditions de l'énoncé. Il existe deux entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $N = 43x + 7$ et $N = 19y + 3$. En égalisant les deux expressions de $N$, on obtient l'équation diophantienne : $$43x - 19y = -4$$
Étape 2
Recherchons une solution particulière de l'équation $43x - 19y = -4$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide appliqué à $43$ et $19$ : $$43 = 19 \times 2 + 5$$ $$19 = 5 \times 3 + 4$$ $$5 = 4 \times 1 + 1$$ En remontant ces égalités, on exprime $1$ comme combinaison linéaire de $43$ et $19$ : $$1 = 5 - 4 \times 1 = 5 - (19 - 5 \times 3) = 4 \times 5 - 19$$ $$1 = 4 \times (43 - 19 \times 2) - 19 = 4 \times 43 - 9 \times 19$$ On a donc $43 \times 4 - 19 \times 9 = 1$. En multipliant cette égalité par $-4$, on trouve : $$43 \times (-16) - 19 \times (-36) = -4$$ Le couple $(x_0, y_0) = (-16, -36)$ est donc une solution particulière dans $\mathbb{Z}^2$.
Étape 3
Déterminons l'ensemble des solutions de l'équation dans $\mathbb{Z}^2$. Soit $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ un couple solution. On a $43x - 19y = -4$ et $43(-16) - 19(-36) = -4$. Par soustraction membre à membre, on obtient : $$43(x + 16) = 19(y + 36)$$ Le nombre $43$ divise le produit $19(y + 36)$. Or, $PGCD(43, 19) = 1$. D'après le théorème de Gauss, $43$ divise $y + 36$. Il existe donc un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que : $$y + 36 = 43k \quad \text{soit} \quad y = -36 + 43k$$ En remplaçant $y + 36$ par $43k$ dans l'égalité précédente, on obtient : $$43(x + 16) = 19 \times 43k \quad \text{d'où} \quad x = -16 + 19k$$
Étape 4
Exprimons l'entier $N$ en fonction du paramètre $k \in \mathbb{Z}$ : $$N = 43x + 7 = 43(-16 + 19k) + 7 = 817k - 681$$ On recherche le plus petit entier $N \ge 2000$. Cela donne la condition suivante sur $k$ : $$817k - 681 \ge 2000 \quad \text{soit} \quad 817k \ge 2681$$ Comme $2681 / 817 \approx 3{,}28$, le plus petit entier relatif $k$ satisfaisant cette inéquation est $k = 4$.
Étape 5
Calculons la valeur de $N$ correspondant à $k = 4$ : $$N = 817 \times 4 - 681 = 3268 - 681 = 2587$$ Le plus petit entier naturel $N \ge 2000$ vérifiant les conditions de l'énoncé est $2587$.
Méthode clé
Traduire le système de restes sous la forme $ax + by = c$, utiliser l'algorithme d'Euclide pour trouver une solution particulière, puis le théorème de Gauss pour obtenir la forme générale des solutions.
Piège à éviter
Erreur de signe lors du passage à l'équation $43x - 19y = -4$ ou oubli de la condition $k \in \mathbb{Z}$ pour l'encadrement de l'entier $N$.
