Étape 1
Étape 1 : Recherche d'une solution particulière.
Étape 2
On observe que $\text{PGCD}(17, 11) = 1$. Comme 1 divise 5, l'équation $(E)$ admet des solutions dans $\mathbb{Z}^2$.
Étape 3
Appliquons l'algorithme d'Euclide pour exprimer 1 comme combinaison linéaire de 17 et 11 :
Étape 4
$$17 = 11 \times 1 + 6$$
Étape 5
$$11 = 6 \times 1 + 5$$
Étape 6
$$6 = 5 \times 1 + 1$$
Étape 7
En remontant cet algorithme, on obtient :
Étape 8
$$1 = 6 - 5 = 6 - (11 - 6) = 2 \times 6 - 11 = 2 \times (17 - 11) - 11 = 2 \times 17 - 3 \times 11$$
Étape 9
En multipliant cette égalité par 5, il vient :
Étape 10
$$17 \times 10 - 11 \times 15 = 5$$
Étape 11
Le couple $(10, 15)$ est donc une solution particulière de $(E)$.
Étape 12
Étape 2 : Résolution générale dans $\mathbb{Z}^2$.
Étape 13
Soit $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ une solution de $(E)$. On a $17x - 11y = 5$ et $17 \times 10 - 11 \times 15 = 5$. Par soustraction membre à membre, cela équivaut à :
Étape 14
$$17(x - 10) = 11(y - 15)$$
Étape 15
Comme $\text{PGCD}(17, 11) = 1$, d'après le théorème de Gauss, 11 divise $17(x - 10)$, donc 11 divise $x - 10$.
Étape 16
Il existe donc un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x - 10 = 11k$, c'est-à-dire $x = 10 + 11k$.
Étape 17
En remplaçant $x - 10$ par $11k$ dans l'égalité précédente, on obtient $17(11k) = 11(y - 15)$, d'où $y - 15 = 17k$, c'est-à-dire $y = 15 + 17k$.
Étape 18
Réciproquement, tout couple de la forme $(10 + 11k, 15 + 17k)$ avec $k \in \mathbb{Z}$ vérifie $17(10 + 11k) - 11(15 + 17k) = 170 + 187k - 165 - 187k = 5$.
Étape 19
L'ensemble des solutions de $(E)$ dans $\mathbb{Z}^2$ est donc :
Étape 20
$$S = \{(10 + 11k, 15 + 17k) \mid k \in \mathbb{Z}\}$$
Étape 21
Étape 3 : Restriction au domaine imposé.
Étape 22
On cherche le nombre de couples $(x, y) \in \mathbb{N}^2$ tels que $x \le 100$ et $y \le 100$.
Étape 23
Pour la variable $x$ :
Étape 24
$$0 \le 10 + 11k \le 100 \implies -10 \le 11k \le 90 \implies -\frac{10}{11} \le k \le \frac{90}{11}$$
Étape 25
Comme $k$ est un entier, cela donne $0 \le k \le 8$.
Étape 26
Pour la variable $y$ :
Étape 27
$$0 \le 15 + 17k \le 100 \implies -15 \le 17k \le 85 \implies -\frac{15}{17} \le k \le \frac{85}{17}$$
Étape 28
Comme $\frac{85}{17} = 5$ et que $k$ est un entier, cela donne $0 \le k \le 5$.
Étape 29
Conclusion :
Étape 30
Les deux conditions imposent $0 \le k \le 5$. L'entier $k$ peut donc prendre 6 valeurs distinctes : 0, 1, 2, 3, 4 et 5.
Étape 31
Il y a donc 6 couples d'entiers naturels solutions vérifiant les conditions requises.
Méthode clé
Utiliser l'algorithme d'Euclide pour trouver une solution particulière, puis le théorème de Gauss pour exprimer la forme générale des solutions avant de restreindre au domaine imposé.
Piège à éviter
Oublier de vérifier la condition $y \le 100$, ce qui conduirait à retenir trop de valeurs de $k$.
