Exercice : Théorème de Gauss et équations $ax + by = c$

Étape 1

Soit $(E)$ l'équation diophantienne $7x - 4y = c$. Multiplions l'égalité $7 \times 3 - 4 \times 5 = 1$ par $c$ :

Étape 2

$$7(3c) - 4(5c) = c$$ Ainsi, le couple $(3c, 5c)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$ dans $\mathbb{Z}^2$.

Étape 3

Soit $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ un couple solution. On a $7x - 4y = 7(3c) - 4(5c)$, ce qui équivaut à :

Étape 4

$$7(x - 3c) = 4(y - 5c)$$

Étape 5

Le nombre $4$ divise le produit $7(x - 3c)$. De plus, $\text{PGCD}(7, 4) = 1$. D'après le théorème de Gauss, $4$ divise $x - 3c$.

Étape 6

Il existe donc un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x - 3c = 4k$, c'est-à-dire :

Étape 7

$$x = 3c + 4k$$

Étape 8

D'après l'énoncé, pour $k = 1$, la valeur de $x$ est $13$. On obtient alors :

Étape 9

$$3c + 4 \times 1 = 13$$ Ce qui donne $3c = 9$, d'où $c = 3$.