Suites récurrentes matricielles et modélisation de systèmes dynamiques
L'essentiel du cours (1 notion)
Suites récurrentes $U_{n+1} = A U_n + C$
Propriété : L'état stable $V$ vérifie $V = A V + C$. Si $I - A$ est inversible, alors $V = (I - A)^{-1} C$.
Méthode : 1. Résoudre $V = A V + C$ pour déterminer $V$. 2. Poser $W_n = U_n - V$ pour obtenir $W_{n+1} = A W_n$. 3. Exprimer $W_n = A^n W_0$ puis $U_n = A^n (U_0 - V) + V$.
On considère la suite de matrices colonnes $(U_n)$ définie par $U_0 = \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix}$, où $k$ est un nombre réel, et pour tout entier naturel $n$ :
$$U_{n+1} = A U_n + C$$avec $A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 10 \\ 16 \end{pmatrix}$.
On note $V$ la matrice d'état stable vérifiant $V = A V + C$, et on définit la suite $(W_n)$ par $W_n = U_n - V$ pour tout entier naturel $n$.
- En résolvant le système issu de l'égalité $V = A V + C$, déterminer la matrice colonne $V$.
- Exprimer la matrice $W_0$ en fonction de $k$.
- Sachant que la première composante de la matrice $W_1$ est égale à $-11$, déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur du paramètre $k$.
On considère les matrices :
$$A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}7 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad C = \begin{pmatrix} k \\ 8 \end{pmatrix}$$où $k$ est un nombre réel.
Soit $V = \begin{pmatrix} x \\ 50 \end{pmatrix}$ une matrice colonne vérifiant l'égalité $V = A V + C$.
Déterminer la valeur numérique du réel $k$.Soit $(U_n)$ la suite de matrices colonnes définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $U_{n+1} = A U_n + C$, où :
$$A = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 1 \\ 0 & 0{,}25 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad C = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$Le terme initial est la matrice colonne $U_0 = \begin{pmatrix} k \\ 12 \end{pmatrix}$, où $k$ est un nombre réel.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n = \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$.
Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle $x_3 = 20$.
Saisir la valeur de $k$.