Étape 1
L'égalité $V = A V + C$ s'écrit de manière équivalente sous la forme $V - A V = C$, c'est-à-dire $I_2 V - A V = C$ où $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est la matrice identité d'ordre 2.
Étape 2
On en déduit l'égalité matricielle : $$(I_2 - A) V = C$$
Étape 3
Calculons la matrice $I_2 - A$ : $$I_2 - A = \begin{pmatrix} 1 - 0{,}6 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 1 - 0{,}7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix}$$
Étape 4
En remplaçant $V = \begin{pmatrix} x \\ 50 \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} k \\ 8 \end{pmatrix}$, le produit matriciel donne : $$\begin{pmatrix} 0{,}4 & -0{,}2 \\ -0{,}1 & 0{,}3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 x - 0{,}2 \times 50 \\ -0{,}1 x + 0{,}3 \times 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 x - 10 \\ -0{,}1 x + 15 \end{pmatrix}$$
Étape 5
Par identification avec les coefficients de la matrice $C$, on obtient le système de deux équations scalaires : $$\begin{cases} 0{,}4 x - 10 = k \\ -0{,}1 x + 15 = 8 \end{cases}$$
Étape 6
Résolvons la seconde équation pour déterminer la valeur de $x$ : $$-0{,}1 x + 15 = 8 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad -0{,}1 x = -7 \quad \text{d'où} \quad x = 70$$
Étape 7
Injectons la valeur $x = 70$ dans la première équation pour calculer $k$ : $$k = 0{,}4 \times 70 - 10 = 28 - 10 = 18$$
Étape 8
La valeur du réel $k$ est donc $18$.
Méthode clé
Pour exploiter une relation matricielle du type $V = A V + C$, on se ramène au système équivalent $(I - A) V = C$, que l'on traduit sous forme de système d'équations scalaires.
Piège à éviter
Attention aux erreurs de signe lors du calcul de la matrice $I_2 - A = \begin{pmatrix} 1-a & -b \\ -c & 1-d \end{pmatrix}$.
