Exercice : Suites récurrentes matricielles et modélisation de systèmes dynamiques

Étape 1

Traduisons l'égalité matricielle $U_{n+1} = A U_n + C$ sous forme d'un système de deux suites récurrentes scalaires. Pour tout entier naturel $n$, nous avons :

Étape 2

$$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 1 \\ 0 & 0{,}25 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

Étape 3

Ce qui équivaut au système suivant :

Étape 4

$$\begin{cases} x_{n+1} = 0{,}5 x_n + y_n + 2 \\ y_{n+1} = 0{,}25 y_n + 3 \end{cases}$$

Étape 5

Calculons d'abord les premiers termes de la suite $(y_n)$ à partir de la valeur initiale $y_0 = 12$ :

Étape 6

$$y_1 = 0{,}25 \times 12 + 3 = 3 + 3 = 6$$

Étape 7

$$y_2 = 0{,}25 \times 6 + 3 = 1{,}5 + 3 = 4{,}5$$

Étape 8

Exprimons désormais les termes de la suite $(x_n)$ en fonction du réel $k$, sachant que $x_0 = k$ :

Étape 9

$$x_1 = 0{,}5 x_0 + y_0 + 2 = 0{,}5 k + 12 + 2 = 0{,}5 k + 14$$

Étape 10

$$x_2 = 0{,}5 x_1 + y_1 + 2 = 0{,}5 (0{,}5 k + 14) + 6 + 2 = 0{,}25 k + 7 + 8 = 0{,}25 k + 15$$

Étape 11

$$x_3 = 0{,}5 x_2 + y_2 + 2 = 0{,}5 (0{,}25 k + 15) + 4{,}5 + 2 = 0{,}125 k + 7{,}5 + 6{,}5 = 0{,}125 k + 14$$

Étape 12

Nous cherchons la valeur de $k$ telle que $x_3 = 20$. Cela équivaut à résoudre l'équation :

Étape 13

$$0{,}125 k + 14 = 20$$

Étape 14

Ce qui donne successivement :

Étape 15

$$0{,}125 k = 6$$

Étape 16

$$k = \frac{6}{0{,}125} = 48$$

Étape 17

La valeur du réel $k$ pour laquelle $x_3 = 20$ est égale à $48$.