Étape 1
On cherche la matrice colonne $V = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$ vérifiant l'égalité $V = A V + C$. Cela s'écrit :$$\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 \\ 16 \end{pmatrix}$$ce qui équivaut au système linéaire d'équations :$$\begin{cases} v_1 = 0{,}5 v_1 + 0{,}2 v_2 + 10 \\ v_2 = 0{,}1 v_1 + 0{,}6 v_2 + 16 \end{cases}$$
Étape 2
En regroupant les inconnues dans le membre de gauche, on obtient :$$\begin{cases} 0{,}5 v_1 - 0{,}2 v_2 = 10 \\ -0{,}1 v_1 + 0{,}4 v_2 = 16 \end{cases}$$En multipliant la seconde équation par $5$, on obtient $-0{,}5 v_1 + 2 v_2 = 80$. En ajoutant cette équation à la première, il vient $1{,}8 v_2 = 90$, d'où $v_2 = 50$. On remplace ensuite $v_2$ dans la première équation pour trouver $0{,}5 v_1 - 10 = 10$, soit $0{,}5 v_1 = 20$, d'où $v_1 = 40$. Ainsi, la matrice d'état stable est :$$V = \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \end{pmatrix}$$
Étape 3
Par définition, $W_0 = U_0 - V$. On exprime $W_0$ en fonction de $k$ :$$W_0 = \begin{pmatrix} 10 \\ k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 40 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -30 \\ k - 50 \end{pmatrix}$$
Étape 4
Pour tout entier naturel $n$, on a $W_{n+1} = U_{n+1} - V = A U_n + C - (A V + C) = A (U_n - V) = A W_n$. Pour $n = 0$, on a donc $W_1 = A W_0$ :$$W_1 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -30 \\ k - 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \times (-30) + 0{,}2 \times (k - 50) \\ 0{,}1 \times (-30) + 0{,}6 \times (k - 50) \end{pmatrix}$$La première composante de $W_1$ vaut $0{,}5 \times (-30) + 0{,}2 (k - 50) = -15 + 0{,}2 k - 10 = 0{,}2 k - 25$.
Étape 5
On sait par l'énoncé que la première composante de $W_1$ est égale à $-11$. On résout l'équation :$$0{,}2 k - 25 = -11$$ce qui équivaut à $0{,}2 k = 14$, d'où $k = \frac{14}{0{,}2} = 70$.
Méthode clé
Pour étudier une suite de matrices colonnes $U_{n+1} = A U_n + C$, on détermine la matrice constante $V$ vérifiant $V = A V + C$, puis on exploite la suite centrée $W_n = U_n - V$ qui vérifie la relation de récurrence géométrique $W_{n+1} = A W_n$.
Piège à éviter
Oublier de soustraire la matrice d'état stable $V$ à $U_0$ lors de l'expression de $W_0$, ou confondre les lignes de la matrice lors du produit matriciel.
