Approfondissements : Fermat, Gauss et Pell
L'essentiel du cours (2 notions)
Paramétrisation des triplets pythagoriciens
Définition : Un triplet pythagoricien est un triplet $(x,y,z)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant l'équation $x^2 + y^2 = z^2$.
Propriété : Tout triplet primitif ($\text{pgcd}(x,y,z)=1$) s'écrit, à permutation de $x$ et $y$ près : $x = m^2 - n^2$, $y = 2mn$, $z = m^2 + n^2$ avec $m > n > 0$, de parités différentes et $\text{pgcd}(m,n) = 1$.
Exemple : Avec $m=2$ et $n=1$, on obtient le triplet primitif $(3, 4, 5)$ car $3^2 + 4^2 = 5^2$.
Norme de Gauss et deux carrés
Définition : Pour un entier de Gauss $z = a + ib \in \mathbb{Z}[i]$, sa norme est l'entier naturel $N(z) = z \bar{z} = a^2 + b^2$.
Propriété : La norme est multiplicative : $N(zz') = N(z)N(z')$. Ainsi, le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés.
Exemple : Pour $z=2+i$ ($N=5$) et $z'=3+i$ ($N=10$), $zz'=5+5i$ donne $N(zz')=50 = 5^2 + 5^2$.
Soit $d$ un entier naturel non carré parfait. On s'intéresse à l'équation $x^2 - d y^2 = 1$, dont les solutions entières strictement positives $(x_n, y_n)$ sont générées, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par la relation :
$$x_n + y_n\sqrt{d} = (x_1 + y_1\sqrt{d})^n$$où $(x_1, y_1)$ désigne la solution fondamentale strictement positive.
On suppose que la solution fondamentale vérifie $y_1 = 1$. Pour $n = 3$, la solution associée $(x_3, y_3)$ vérifie $y_3 = 399$.
Saisir la valeur de l'entier $d$.
On rappelle que pour tout entier de Gauss $z = a + ib \in \mathbb{Z}[i]$ (avec $a, b \in \mathbb{Z}$), la norme est définie par $N(z) = a^2 + b^2$ et vérifie la propriété de multiplicativité : pour tous $z_1, z_2 \in \mathbb{Z}[i]$, $N(z_1 z_2) = N(z_1) N(z_2)$.
Un entier $m$ s'exprime comme la somme de deux carrés $m = A^2 + B^2$, où $A$ et $B$ sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du produit $Z = (k + 3i)(2 + 5i)(1 - 2i)$, dans lequel $k$ est un entier naturel non nul.
Sachant que $m = 22185$, déterminer la valeur de l'entier $k$.
Déterminer la valeur finale de l'entier $k$.