Exercice : Approfondissements : Fermat, Gauss et Pell

Étape 1

Soient $z_1 = k + 3i$, $z_2 = 2 + 5i$ et $z_3 = 1 - 2i$ dans $\mathbb{Z}[i]$. Le nombre $Z$ s'écrit $Z = z_1 z_2 z_3$.

Étape 2

Par définition de la norme d'un entier de Gauss $Z = A + iB$, on a $N(Z) = A^2 + B^2 = m = 22185$.

Étape 3

En utilisant la propriété de multiplicativité de la norme, on obtient :$$N(Z) = N(z_1) \times N(z_2) \times N(z_3)$$

Étape 4

Calculons séparément la norme de chaque facteur :$$N(z_1) = k^2 + 3^2 = k^2 + 9$$$$N(z_2) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$$$$N(z_3) = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$$

Étape 5

On en déduit l'expression de $N(Z)$ :$$N(Z) = (k^2 + 9) \times 29 \times 5 = 145(k^2 + 9)$$

Étape 6

Comme $N(Z) = 22185$, nous obtenons l'équation :$$145(k^2 + 9) = 22185$$ En divisant par $145$, on trouve $$k^2 + 9 = 153$$ ce qui équivaut à $$k^2 = 144$$

Étape 7

Puisque $k$ est un entier naturel non nul, on conclut que $k = \sqrt{144} = 12$.