Exercice : Approfondissements : Fermat, Gauss et Pell

Étape 1

Puisque $(x_1, y_1)$ est la solution fondamentale de l'équation avec $y_1 = 1$, le couple $(x_1, 1)$ vérifie $$x_1^2 - d \times 1^2 = 1$$ Ce qui donne immédiatement la relation entre $d$ et $x_1$ : $$d = x_1^2 - 1$$

Étape 2

Pour $n = 3$, la relation de génération donne : $$x_3 + y_3\sqrt{d} = (x_1 + \sqrt{d})^3$$ En développant à l'aide de la formule du binôme de Newton : $$(x_1 + \sqrt{d})^3 = x_1^3 + 3 x_1^2 \sqrt{d} + 3 x_1 d + d \sqrt{d}$$

Étape 3

En regroupant les termes entiers et les termes en $\sqrt{d}$ : $$(x_1 + \sqrt{d})^3 = (x_1^3 + 3 x_1 d) + (3 x_1^2 + d)\sqrt{d}$$ Comme $d$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{d}$ est irrationnel. Par unicité de la décomposition, on identifie la composante $y_3$ : $$y_3 = 3 x_1^2 + d$$

Étape 4

En substituant l'expression $d = x_1^2 - 1$ dans celle de $y_3$, on obtient : $$y_3 = 3 x_1^2 + (x_1^2 - 1) = 4 x_1^2 - 1$$

Étape 5

On sait par l'énoncé que $y_3 = 399$. On résout l'équation en $x_1$ : $$4 x_1^2 - 1 = 399$$ $$4 x_1^2 = 400$$ $$x_1^2 = 100$$ Comme $x_1$ est un entier strictement positif, on détermine : $$x_1 = 10$$

Étape 6

On en déduit la valeur du paramètre $d$ : $$d = 10^2 - 1 = 99$$