Étape 1
Définissons les trois ensembles de référence inclus les uns dans les autres :
Étape 2
• $E$ est la population globale de tous les élèves du lycée.
Étape 3
• $A$ est la sous-population des élèves inscrits à l'association sportive.
Étape 4
• $B$ est la sous-population des élèves inscrits à l'association sportive qui sont en classe de Seconde.
Étape 5
D'après le cours sur les proportions de sous-populations, si $p_1$ désigne la proportion de $A$ dans $E$ et $p_2$ désigne la proportion de $B$ dans $A$, alors la proportion $p$ de $B$ dans $E$ est égale au produit :
Étape 6
$$p = p_1 \times p_2$$
Étape 7
Traduisons les données de l'énoncé sous forme décimale :
Étape 8
• La proportion des élèves inscrits à l'association sportive dans le lycée est $p_1 = 60\% = 0{,}60$.
Étape 9
• La proportion globale des élèves à la fois en Seconde et à l'association sportive dans le lycée est $p = 21\% = 0{,}21$.
Étape 10
L'égalité $0{,}21 = 0{,}60 \times p_2$ équivaut à :
Étape 11
$$p_2 = \frac{0{,}21}{0{,}60}$$
Étape 12
En multipliant le numérateur et le dénominateur par $100$, on obtient :
Étape 13
$$p_2 = \frac{21}{60} = \frac{7}{20} = 0{,}35$$
Étape 14
En exprimant ce résultat sous forme de pourcentage : $0{,}35 = 35\%$.
Étape 15
La proportion d'élèves en classe de Seconde parmi ceux qui sont inscrits à l'association sportive est donc de $35\%$.
Méthode clé
Si une sous-population $A$ a une proportion $p_1$ dans $E$, et qu'une sous-population $B$ a une proportion $p_2$ dans $A$, alors la proportion $p$ de $B$ dans $E$ est donnée par $p = p_1 \times p_2$.
Piège à éviter
Confondre la proportion d'un sous-groupe dans un autre ($p_2$) avec la proportion globale ($p$), et diviser dans le mauvais sens.
