Exercice : Lieux géométriques et régions du plan

Étape 1

Soit $M(x, y)$ un point du plan. On exprime le carré de la distance $MF$ à l'aide des coordonnées de $F(3\,; 5)$ : $$MF^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$$ En développant cette expression, on obtient : $$MF^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25 = x^2 - 6x + y^2 - 10y + 34$$

Étape 2

La distance du point $M(x, y)$ à l'axe des abscisses est égale à $|y|$. Le carré de cette distance vaut donc : $$d(M, (Ox))^2 = |y|^2 = y^2$$

Étape 3

Le point $M(x, y)$ appartient à la courbe si et seulement si $MF = d(M, (Ox))$, ce qui équivaut à $MF^2 = d(M, (Ox))^2$. On égale ainsi les deux expressions : $$x^2 - 6x + y^2 - 10y + 34 = y^2$$ En retranchant $y^2$ dans chaque membre, on obtient : $$x^2 - 6x - 10y + 34 = 0$$

Étape 4

En isolant $10y$, on trouve : $$10y = x^2 - 6x + 34$$ Puis en divisant chaque terme par $10$ : $$y = 0{,}1 x^2 - 0{,}6 x + 3{,}4$$

Étape 5

L'équation est bien de la forme $y = a x^2 + b x + c$ avec $a = 0{,}1$, $b = -0{,}6$ et $c = 3{,}4$. Le coefficient $c$ vaut donc $3{,}4$.