Exercice : Analyse et comparaison de séries

Étape 1

Soit $N$ l'effectif initial du groupe d'élèves et $S$ la somme de leurs notes. Par définition de la moyenne initiale : $$S = 12N$$

Étape 2

Si l'on retire la note $3$, la série comporte $N - 1$ élèves et la somme des notes devient $S - 3$. La nouvelle moyenne est égale à $13$, ce qui donne l'équation : $$\frac{S - 3}{N - 1} = 13$$

Étape 3

En remplaçant $S$ par $12N$, on obtient : $$\frac{12N - 3}{N - 1} = 13$$ Ce qui équivaut à : $$12N - 3 = 13(N - 1)$$ $$12N - 3 = 13N - 13$$ D'où $N = 10$. L'effectif initial est donc de $10$ élèves.

Étape 4

La somme initiale des notes est : $$S = 12 \times 10 = 120$$

Étape 5

Lorsqu'on ajoute la note $x$, la série comporte désormais $10 + 1 = 11$ élèves et la somme des notes devient $120 + x$. La nouvelle moyenne étant de $12{,}5$, on écrit : $$\frac{120 + x}{11} = 12{,}5$$ Ce qui équivaut à : $$120 + x = 11 \times 12{,}5$$ $$120 + x = 137{,}5$$ D'où $x = 137{,}5 - 120 = 17{,}5$.

Étape 6

La valeur de la note ajoutée $x$ est donc $17{,}5$ (ce qui est bien supérieur à la médiane $11{,}5$).