Exercice : Analyse et comparaison de séries

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la moyenne de la série $A$ et détermination de la valeur manquante $y$.

Étape 2

La moyenne $\bar{x}_A$ de la série $A$ est donnée par : $$\bar{x}_A = \dfrac{12 + 14 + 16 + 18 + 20}{5} = \dfrac{80}{5} = 16$$

Étape 3

Comme la moyenne de la série $B$ est égale à celle de la série $A$, on a $\bar{x}_B = 16$, d'où : $$\dfrac{8 + 12 + 16 + 20 + y}{5} = 16$$

Étape 4

Ce qui équivaut à $56 + y = 80$, soit $y = 24$.

Étape 5

Étape 2 : Calcul de la variance et de l'écart-type de la série $A$.

Étape 6

La variance $V_A$ de la série $A$ s'obtient en faisant la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $$V_A = \dfrac{(12-16)^2 + (14-16)^2 + (16-16)^2 + (18-16)^2 + (20-16)^2}{5}$$ $$V_A = \dfrac{(-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2}{5} = \dfrac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$$

Étape 7

L'écart-type $\sigma_A$ est donc $\sigma_A = \sqrt{V_A} = \sqrt{8}$.

Étape 8

Étape 3 : Calcul de la variance et de l'écart-type de la série $B$.

Étape 9

La variance $V_B$ de la série $B$ s'obtient de même avec la valeur $y = 24$ : $$V_B = \dfrac{(8-16)^2 + (12-16)^2 + (16-16)^2 + (20-16)^2 + (24-16)^2}{5}$$ $$V_B = \dfrac{(-8)^2 + (-4)^2 + 0^2 + 4^2 + 8^2}{5} = \dfrac{64 + 16 + 0 + 16 + 64}{5} = \dfrac{160}{5} = 32$$

Étape 10

L'écart-type $\sigma_B$ est donc $\sigma_B = \sqrt{V_B} = \sqrt{32}$.

Étape 11

Étape 4 : Calcul du rapport des écarts-types.

Étape 12

$$\dfrac{\sigma_B}{\sigma_A} = \dfrac{\sqrt{32}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{32}{8}} = \sqrt{4} = 2$$

Étape 13

Le rapport de l'écart-type de la série $B$ sur celui de la série $A$ est égal à $2$.