Exercice : Analyse et comparaison de séries

Étape 1

Étape 1 : Analyse de la série A à partir du diagramme en boîte. Par lecture graphique sur le diagramme de la série A, on identifie les extrémités du rectangle central : $$Q_1(A) = 5 \quad \text{et} \quad Q_3(A) = 15$$ La largeur du rectangle central de la série A vaut donc : $$I_A = 15 - 5 = 10$$

Étape 2

Étape 2 : Détermination des quartiles de la série B. La série B contient $N = 7$ valeurs ordonnées : $3 ; x ; 9 ; 11 ; 14 ; 16 ; 21$. Calcul du rang du premier quartile : $\frac{7}{4} = 1{,}75$. Le premier quartile $Q_1(B)$ est la $2\text{e}$ valeur, soit $Q_1(B) = x$. Calcul du rang du troisième quartile : $3 \times \frac{7}{4} = 5{,}25$. Le troisième quartile $Q_3(B)$ est la $6\text{e}$ valeur, soit $Q_3(B) = 16$. La largeur du rectangle central de la série B s'exprime donc par : $$I_B = 16 - x$$

Étape 3

Étape 3 : Résolution de la condition d'inégalité. On cherche la plus petite valeur entière de $x$ telle que $I_B < I_A$ : $$16 - x < 10 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad x > 6$$ Comme $x$ est un entier vérifiant la contrainte $3 \le x \le 9$, la plus petite valeur entière qui satisfait $x > 6$ est $x = 7$.