Étape 1
Par définition de la projection orthogonale, le point $H$ étant le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, on a : $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$$
Étape 2
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires. Comme leur produit scalaire vaut $-20$, qui est strictement négatif, ces deux vecteurs sont de sens contraires.
Étape 3
On en déduit : $$\vec{AB} \cdot \vec{AH} = - AB \times AH$$ Ce qui donne l'égalité : $$-4 \times AH = -20$$ D'où : $$AH = \frac{-20}{-4} = 5$$
Étape 4
Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$. D'après le théorème de Pythagore : $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$ Soit en isolant $CH^2$ : $$CH^2 = AC^2 - AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$
Étape 5
Une longueur étant positive, on conclut : $$CH = \sqrt{144} = 12$$
Méthode clé
Remplacer le vecteur $\vec{AC}$ par son projeté orthogonal $\vec{AH}$ sur la droite $(AB)$, puis utiliser le signe du produit scalaire pour déterminer la position et la distance $AH$.
Piège à éviter
Oublier que le produit scalaire est négatif, ce qui signifie que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont de sens contraires, et écrire à tort $AB \times AH = -20$.
