Exercice : Calcul de dérivées et étude de variations

Étape 1

La fonction $B$ est dérivable sur $[0 ; 8]$ en tant que fonction polynôme.

Étape 2

Pour tout $x \in [0 ; 8]$, on calcule la dérivée de $B$ : $$B'(x) = -2 \times 3x^2 + 9 \times 2x + 60 = -6x^2 + 18x + 60$$

Étape 3

On factorise par $-6$ : $$B'(x) = -6(x^2 - 3x - 10)$$ Cherchons les racines du trinôme $x^2 - 3x - 10$. Le discriminant vaut : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$$ Les racines sont : $$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

Étape 4

Le coefficient dominant du trinôme $-6x^2 + 18x + 60$ est $-6 < 0$, donc $B'(x)$ est strictement positif entre les racines $-2$ et $5$, et strictement négatif à l'extérieur. Ainsi, sur l'intervalle $[0 ; 8]$ :

Étape 5

$B'(x) > 0$ pour $x \in [0 ; 5[$, $B'(5) = 0$, et $B'(x) < 0$ pour $x \in ]5 ; 8]$.

Étape 6

La fonction $B$ est donc strictement croissante sur $[0 ; 5]$ et strictement décroissante sur $[5 ; 8]$. Elle admet par conséquent un maximum absolu en $x = 5$.

Étape 7

On calcule ce bénéfice maximal : $$B(5) = -2 \times 5^3 + 9 \times 5^2 + 60 \times 5 - 15$$ $$B(5) = -2 \times 125 + 9 \times 25 + 300 - 15 = -250 + 225 + 300 - 15 = 260$$

Étape 8

Le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise est donc de 260 euros.