Exercice : Calcul de dérivées et étude de variations

Étape 1

La fonction $f$ est de la forme $\frac{u}{v}$ avec $u(x) = x^2 + k$ et $v(x) = x + 1$.

Étape 2

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $]-1 ; +\infty[$, avec pour tout $x > -1$ :$$u'(x) = 2x \quad \text{et} \quad v'(x) = 1$$

Étape 3

Pour tout $x \in ]-1 ; +\infty[$, la dérivée de $f$ est donnée par la formule du quotient :$$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$$

Étape 4

En remplaçant par les expressions de $u$, $v$, $u'$ et $v'$ :$$f'(x) = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + k) \times 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - k}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - k}{(x + 1)^2}$$

Étape 5

On utilise la condition $f'(1) = -1$ :$$f'(1) = \frac{1^2 + 2 \times 1 - k}{(1 + 1)^2} = \frac{3 - k}{4}$$

Étape 6

L'égalité $f'(1) = -1$ équivaut donc successivement à :$$\frac{3 - k}{4} = -1$$ $$3 - k = -4$$ $$k = 7$$