Exercice : Pyramides et cônes de révolution : perspective et patrons

Étape 1

Dans le patron d'un cône de révolution, la longueur de l'arc de cercle du secteur latéral est égale au périmètre du cercle de base.

Étape 2

Le rayon de ce secteur circulaire est la génératrice du cône, soit $g = SA = 10\text{ cm}$. Le périmètre d'un cercle complet de rayon $10\text{ cm}$ serait de $2 \times \pi \times 10 = 20\pi\text{ cm}$.

Étape 3

Comme la longueur de l'arc est proportionnelle à l'angle au centre, l'arc de $216^\circ$ a pour longueur : $$20\pi \times \frac{216}{360} = 20\pi \times 0{,}6 = 12\pi\text{ cm}$$

Étape 4

Le périmètre de la base de rayon $OA$ est donc égal à $12\pi\text{ cm}$, ce qui donne : $$2 \times \pi \times OA = 12\pi$$ d'où $OA = 6\text{ cm}$.

Étape 5

Dans la représentation en perspective cavalière, le triangle $SOA$ est rectangle en $O$. D'après le théorème de Pythagore : $$SA^2 = SO^2 + OA^2$$ Soit : $$10^2 = SO^2 + 6^2$$ $$100 = SO^2 + 36$$ $$SO^2 = 100 - 36 = 64$$

Étape 6

Comme une longueur est positive, on en déduit que $SO = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$.