Exercice : Pyramides et cônes de révolution : perspective et patrons

Étape 1

Dans un cône de révolution, la hauteur $(SO)$ est perpendiculaire au disque de base, donc elle est perpendiculaire au rayon $[OA]$. Le triangle $SOA$ est donc rectangle en $O$.

Étape 2

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $SOA$ rectangle en $O$ :$$SA^2 = SO^2 + OA^2$$$$SA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$Une longueur étant positive, on en déduit :$$SA = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$La génératrice du cône mesure donc $5\text{ cm}$.

Étape 3

Sur le patron du cône, le secteur circulaire modélisant la surface latérale a pour rayon la génératrice $SA = 5\text{ cm}$. La longueur de l'arc de ce secteur doit être égale au périmètre du cercle de base :$$\mathcal{P}_{\text{base}} = 2 \times \pi \times OA = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi\text{ cm}$$Un disque complet de rayon $5\text{ cm}$ correspond à un angle au centre de $360^\circ$ et a pour périmètre :$$\mathcal{P}_{\text{disque}} = 2 \times \pi \times SA = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi\text{ cm}$$

Étape 4

La mesure de l'angle au centre étant proportionnelle à la longueur de l'arc, on calcule $\alpha$ :$$\alpha = 360^\circ \times \frac{6\pi}{10\pi} = 360^\circ \times \frac{3}{5} = 216^\circ$$L'angle au centre du secteur circulaire mesure donc $216^\circ$.