Étape 1
Dans le cône de révolution, le segment $[SO]$ est la hauteur issue du sommet $S$ et le segment $[OA]$ est un rayon de la base. Le triangle $SOA$ est donc rectangle en $O$.
Étape 2
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $SOA$ rectangle en $O$ :
$$SA^2 = SO^2 + OA^2$$
$$SA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$
D'où $SA = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$. La génératrice du cône mesure donc $5\text{ cm}$.
Étape 3
Sur le patron du cône, le secteur circulaire représentant la surface latérale a pour rayon la génératrice $SA = 5\text{ cm}$. Le périmètre d'un disque complet de rayon $5\text{ cm}$ est égal à :
$$2 \times \pi \times 5 = 10\pi\text{ cm}$$
Étape 4
La longueur de l'arc de ce secteur circulaire doit correspondre exactement au périmètre du disque de base de rayon $3\text{ cm}$, soit :
$$2 \times \pi \times 3 = 6\pi\text{ cm}$$
Étape 5
La mesure de l'angle $\alpha$ du secteur circulaire est proportionnelle à la longueur de l'arc. On calcule donc :
$$\alpha = \frac{6\pi}{10\pi} \times 360^\circ = \frac{3}{5} \times 360^\circ = 216^\circ$$
Étape 6
L'angle du secteur circulaire sur le patron mesure $216^\circ$.
Méthode clé
La longueur de la génératrice d'un cône se calcule avec le théorème de Pythagore. L'angle $\alpha$ du secteur circulaire du patron s'obtient par la relation de proportionnalité $\alpha = \frac{R}{\text{génératrice}} \times 360^\circ$.
Piège à éviter
Confondre la hauteur du cône ($SO$) et sa génératrice ($SA$) lors de la construction ou du calcul des dimensions du patron.
