Étape 1
Par définition, pour tout nombre relatif $a$ et tout nombre entier strictement positif $k$, la notation $a^k$ désigne le produit de $k$ facteurs tous égaux à $a$.
Étape 2
On décompose chaque terme de l'expression $A$ sous la forme d'un produit constitué exclusivement de facteurs égaux à $3$ :
- $3^3 = 3 \times 3 \times 3$, soit $3$ facteurs égaux à $3$ ;
- $9 = 3 \times 3$, soit $2$ facteurs égaux à $3$ ;
- $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$, soit $5$ facteurs égaux à $3$ ;
- $27 = 3 \times 3 \times 3$, soit $3$ facteurs égaux à $3$.
Étape 3
En réécrivant le produit global $A$, on obtient :
$$A = (3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3) \times (3 \times 3 \times 3)$$
On calcule le nombre total de facteurs égaux à $3$ présents dans ce produit :
$$3 + 2 + 5 + 3 = 13$$
Étape 4
Le nombre $A$ s'écrit donc comme le produit de $13$ facteurs tous égaux à $3$.
D'après la définition, ce produit se simplifie sous la forme $3^{13}$.
On en déduit que l'entier $n$ vaut $13$.
Méthode clé
Revenir à la définition d'une puissance comme un produit de facteurs identiques pour compter le nombre total de facteurs.
Piège à éviter
Additionner directement les nombres visibles sans décomposer 9 et 27 en produits de facteurs égaux à 3.
