Exercice : Formules de proportionnalité

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la longueur de l'arc de cercle parcouru.

Étape 2

Convertissons la vitesse en mètres par seconde : $18\text{ km/h} = \frac{18\text{ }000\text{ m}}{3\text{ }600\text{ s}} = 5\text{ m/s}$.

Étape 3

Convertissons la durée en secondes : $1\text{ min } 36\text{ s} = 60\text{ s} + 36\text{ s} = 96\text{ s}$.

Étape 4

La distance parcourue sur l'arc est égale à : $L = v \times t = 5\text{ m/s} \times 96\text{ s} = 480\text{ m}$.

Étape 5

Étape 2 : Calcul du périmètre total de la piste circulaire.

Étape 6

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre associé.

Étape 7

Pour un angle de $360^\circ$, la longueur correspond au périmètre total $P$ du cercle.

Étape 8

On dresse le tableau de proportionnalité :

Étape 9

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Angle (en degrés)} & 108 & 360 \\ \hline \text{Longueur (en m)} & 480 & P \\ \hline \end{array}$$

Étape 10

D'où : $P = \frac{480 \times 360}{108} = \frac{480 \times 10}{3} = 1600\text{ m}$.

Étape 11

Étape 3 : Calcul du rayon $R$ et détermination de $k$.

Étape 12

Le périmètre d'un cercle de rayon $R$ est donné par la formule $P = 2 \times \pi \times R$.

Étape 13

Ce qui équivaut à : $2 \times \pi \times R = 1600$, soit $R = \frac{1600}{2\pi} = \frac{800}{\pi}\text{ m}$.

Étape 14

Par identification avec l'expression $R = \frac{k}{\pi}$, on conclut que $k = 800$.