Étape 1
Pour comparer les deux fractions, on commence par les écrire avec le même dénominateur positif. Les dénominateurs sont 12 et 9. Un multiple commun à 12 et 9 est 36 car $12 \times 3 = 36$ et $9 \times 4 = 36$.
Étape 2
On transforme les deux écritures fractionnaires : $$-\dfrac{n}{12} = -\dfrac{n \times 3}{12 \times 3} = -\dfrac{3n}{36}$$ et $$-\dfrac{7}{9} = -\dfrac{7 \times 4}{9 \times 4} = -\dfrac{28}{36}$$
Étape 3
L'affirmation $-\dfrac{n}{12} > -\dfrac{7}{9}$ équivaut donc à : $$-\dfrac{3n}{36} > -\dfrac{28}{36}$$ Comme le dénominateur 36 est positif, cette comparaison revient à comparer les numérateurs relatifs : $$-3n > -28$$
Étape 4
Or, deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs distances à zéro. L'inégalité $-3n > -28$ signifie donc que la distance à zéro $3n$ doit être strictement inférieure à $28$.
Étape 5
Testons les valeurs successives de l'entier $n$ : pour $n = 9$, on a $3 \times 9 = 27$, d'où $-27 > -28$ (l'inégalité est vérifiée car $-\dfrac{27}{36} > -\dfrac{28}{36}$).
Étape 6
Pour $n = 10$, on a $3 \times 10 = 30$, d'où $-30 < -28$. On obtient donc : $$-\dfrac{30}{36} < -\dfrac{28}{36}$$ soit $-\dfrac{10}{12} < -\dfrac{7}{9}$.
Étape 7
L'affirmation est donc prise en défaut dès $n = 10$. Le plus petit entier naturel non nul formant un contre-exemple est 10.
Méthode clé
Pour comparer deux nombres en écriture fractionnaire, on les réduit au même dénominateur positif, puis on compare leurs numérateurs.
Piège à éviter
Attention à l'ordre des nombres négatifs : le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro (le plus proche de 0).
