Exercice : Raisonnements géométriques complexes

Étape 1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, on utilise la définition du cosinus d'un angle aigu :

Étape 2

$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$$

Étape 3

On en déduit : $AB = AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 10 \times 0{,}6 = 6\text{ cm}$.

Étape 4

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :

Étape 5

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

Étape 6

$10^2 = 6^2 + BC^2$, ce qui donne $100 = 36 + BC^2$, d'où $BC^2 = 64$ et $BC = 8\text{ cm}$.

Étape 7

L'aire du triangle $ABC$ vaut alors :

Étape 8

$$\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{6 \times 8}{2} = 24\text{ cm}^2$$

Étape 9

L'aire du triangle agrandi $AB'C'$ s'obtient en ajoutant l'aire de la surface $BB'C'C$ à l'aire de $ABC$ :

Étape 10

$$\mathcal{A}_{AB'C'} = 24 + 360 = 384\text{ cm}^2$$

Étape 11

L'homothétie de rapport $k > 0$ multiplie les aires par $k^2$. On a donc :

Étape 12

$$\mathcal{A}_{AB'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC}$$

Étape 13

$384 = k^2 \times 24$, ce qui équivaut à $k^2 = \frac{384}{24} = 16$. Le rapport étant positif, $k = 4$.

Étape 14

Enfin, l'homothétie multiplie les longueurs par $k$. La longueur $B'C'$ vaut donc :

Étape 15

$$B'C' = k \times BC = 4 \times 8 = 32\text{ cm}$$