Exercice : Raisonnements géométriques complexes

Étape 1

Dans une homothétie de rapport $k = 3$, les aires sont multipliées par $k^2 = 3^2 = 9$.

Étape 2

On en déduit l'aire du triangle initial $ABC$ : $$\text{Aire}(ABC) = \frac{\text{Aire}(A'B'C')}{9} = \frac{81}{9} = 9\text{ cm}^2$$

Étape 3

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, donc son aire s'exprime par la formule : $$\text{Aire}(ABC) = \frac{AB \times AC}{2}$$

Étape 4

En remplaçant par les valeurs connues, on obtient : $$\frac{4 \times AC}{2} = 9$$ soit $2 \times AC = 9$.

Étape 5

On conclut : $$AC = \frac{9}{2} = 4{,}5\text{ cm}$$