Exercice : Raisonnements géométriques complexes

Étape 1

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ En remplaçant par les valeurs données : $$7{,}5^2 = 4{,}5^2 + AC^2$$ $$56{,}25 = 20{,}25 + AC^2$$ D'où : $$AC^2 = 56{,}25 - 20{,}25 = 36$$ On en déduit que $AC = 6\text{ cm}$.

Étape 2

Calculons l'aire du triangle rectangle $ABC$ : $$\text{Aire}(ABC) = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{4{,}5 \times 6}{2} = 13{,}5\text{ cm}^2$$

Étape 3

L'aire du grand triangle $ADE$ est la somme de l'aire du triangle $ABC$ et de l'aire du quadrilatère $BCED$ : $$\text{Aire}(ADE) = 13{,}5 + 40{,}5 = 54\text{ cm}^2$$

Étape 4

Le triangle $ADE$ étant un agrandissement du triangle $ABC$ de rapport $k$, son aire est multipliée par $k^2$ : $$\text{Aire}(ADE) = k^2 \times \text{Aire}(ABC)$$ Ce qui donne : $$54 = k^2 \times 13{,}5$$ D'où : $$k^2 = \frac{54}{13{,}5} = 4$$ Comme le rapport d'agrandissement $k$ est un nombre positif, on obtient $k = \sqrt{4} = 2$.