Exercice : Raisonnements géométriques complexes

Étape 1

D'une part, calculons la longueur du côté $AC$ dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore, on a : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ $$10^2 = 6^2 + AC^2$$ $$100 = 36 + AC^2$$ $$AC^2 = 100 - 36 = 64$$ D'où $AC = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$.

Étape 2

D'autre part, calculons l'aire du triangle initial $ABC$ : $$\mathcal{A}_{ABC} = \frac{AB \times AC}{2} = \frac{6 \times 8}{2} = 24\text{ cm}^2$$

Étape 3

Enfin, le triangle $A'B'C'$ est un agrandissement du triangle $ABC$ de rapport $k = 1{,}5$. Lors d'un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. L'aire du triangle $A'B'C'$ est donc : $$\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC} = 1{,}5^2 \times 24 = 2{,}25 \times 24 = 54\text{ cm}^2$$