Étape 1
Considérons le triangle $AEH$. Comme $ABCD$ est un carré, le triangle $AEH$ est rectangle en $A$.
Étape 2
Le quadrilatère $EFGH$ est un carré d'aire $39\text{ cm}^2$, ce qui signifie que $$EH^2 = 39$$
Étape 3
D'après le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle $AEH$ rectangle en $A$ : $$EH^2 = AE^2 + AH^2$$
Étape 4
On sait que $AE = \sqrt{12}\text{ cm}$, d'où $AE^2 = 12$. En substituant les valeurs dans l'égalité de Pythagore, on obtient : $$39 = 12 + AH^2$$
Étape 5
Ce qui équivaut à : $$AH^2 = 39 - 12 = 27$$ Comme $AH$ représente une longueur, c'est un nombre positif, donc : $$AH = \sqrt{27}\text{ cm}$$
Étape 6
Simplifions la racine carrée de $27$ : $$AH = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}\text{ cm}$$
Étape 7
Simplifions également la longueur $AE$ : $$AE = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$$
Étape 8
Par construction, le point $E$ appartient au segment $[AB]$ et on a $DH = AH$. De plus, $BF = AE = 2\sqrt{3}\text{ cm}$, donc $EB = AH = 3\sqrt{3}\text{ cm}$.
Étape 9
La longueur du côté du grand carré $ABCD$ est donc : $$AB = AE + EB = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\text{ cm}$$
Étape 10
La longueur du côté s'écrit sous la forme $a\sqrt{3}\text{ cm}$ avec $a = 5$.
Méthode clé
Pour additionner des longueurs comportant des racines carrées, il faut d'abord écrire chaque terme sous la forme $k\sqrt{p}$ avec le même nombre entier $p$ sous le radical.
Piège à éviter
Attention à ne pas écrire que $\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{39}$. La somme de deux racines carrées n'est pas égale à la racine carrée de la somme.
