Étape 1
On commence par simplifier le membre de droite sous la forme d'une puissance de $6$. Le dénominateur contient un produit de $4$ facteurs tous égaux à $6$, d'où : $$\frac{1}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{1}{6^4} = 6^{-4}$$
Étape 2
On simplifie ensuite le membre de gauche en utilisant la règle de multiplication des puissances de même base ($a^p \times a^q = a^{p+q}$) : $$6^5 \times 6^n = 6^{5+n}$$
Étape 3
L'égalité de l'énoncé devient alors : $$6^{5+n} = 6^{-4}$$ Deux puissances de même base non nulle sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux. On obtient l'équation : $$5 + n = -4$$
Étape 4
En soustrayant $5$ à chaque membre de l'égalité, on trouve : $$n = -4 - 5 = -9$$ La valeur de l'entier $n$ est donc $-9$.
Méthode clé
Exprimer les deux membres sous la forme d'une même puissance $a^k$ pour égaler directement les exposants.
Piège à éviter
Multiplier les bases entre elles (écrire $36^{5+n}$) ou confondre $\frac{1}{6^4}$ avec $6^4$.
