Étape 1
Soit $x$ la largeur initiale du terrain en mètres.
Étape 2
D'après l'énoncé, la longueur initiale mesure $5\text{ m}$ de plus que le double de la largeur. La longueur initiale vaut donc $2x + 5$.
Étape 3
L'aire initiale du terrain $A_1$ s'exprime par : $$A_1 = x(2x + 5) = 2x^2 + 5x$$
Étape 4
Après modifications des dimensions : la nouvelle largeur est $x + 3$ et la nouvelle longueur est $(2x + 5) - 4 = 2x + 1$.
Étape 5
La nouvelle aire du terrain $A_2$ s'exprime par : $$A_2 = (x + 3)(2x + 1)$$
Étape 6
En développant cette expression : $$A_2 = 2x^2 + x + 6x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$$
Étape 7
L'augmentation d'aire est de $21\text{ m}^2$, ce qui se traduit par l'équation $A_2 - A_1 = 21$, soit : $$(2x^2 + 7x + 3) - (2x^2 + 5x) = 21$$
Étape 8
En supprimant les parenthèses et en réduisant le membre de gauche : $$2x + 3 = 21$$
Étape 9
En soustrayant $3$ de chaque côté, on obtient $2x = 18$, puis en divisant par $2$, on trouve $x = 9$.
Étape 10
La largeur initiale du terrain est donc égale à $9\text{ m}$.
Méthode clé
Exprimer toutes les grandeurs inconnues en fonction d'une même variable $x$, puis traduire l'énoncé sous forme d'équation algébrique.
Piège à éviter
Oublier les parenthèses lors de la soustraction des deux expressions d'aire, ce qui fausse les signes lors de la simplification.
