Exercice : Principes de dénombrement

Étape 1

On décompose la constitution du bureau en une succession de trois choix indépendants ou dépendants :

Étape 2

1. Le choix du président : il y a 4 possibilités parmi les membres fondateurs.

Étape 3

2. Le choix du secrétaire : il y a $n$ possibilités parmi les adhérents de l'association.

Étape 4

3. Le choix du trésorier : la fonction ne pouvant être cumulée avec celle de secrétaire, il reste $n - 1$ possibilités parmi les adhérents.

Étape 5

D'après le principe multiplicatif, le nombre total de bureaux distincts possibles s'écrit :

Étape 6

$$4 \times n \times (n - 1) = 840$$

Étape 7

En divisant par 4 de chaque côté, on obtient la valeur intermédiaire du nombre de couples (secrétaire, trésorier) possible :

Étape 8

$$n(n - 1) = 210$$

Étape 9

Cette égalité se développe sous la forme d'une équation du second degré :

Étape 10

$$n^2 - n - 210 = 0$$

Étape 11

On calcule le discriminant de ce polynôme :

Étape 12

$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-210) = 1 + 840 = 841$$

Étape 13

Comme $841 = 29^2$, le discriminant est strictement positif. L'équation admet donc deux solutions réelles :

Étape 14

$$n_1 = \frac{1 - 29}{2} = -14 \quad \text{et} \quad n_2 = \frac{1 + 29}{2} = 15$$

Étape 15

Un nombre d'adhérents devant être un entier naturel positif, la valeur $-14$ est écartée.

Étape 16

L'association compte donc $15$ adhérents.