Exercice : Principes de dénombrement

Étape 1

D'après le principe multiplicatif, la constitution d'une séquence se déroule en deux étapes successives et indépendantes :

Étape 2

1. Le choix de l'acide aminé offre $5$ possibilités.

Étape 3

2. Le choix de la chaîne de $n$ bases azotées parmi $4$ bases (avec répétition autorisée) correspond à une $n$-liste d'un ensemble à $4$ éléments. Il y a donc $4^n$ chaînes possibles.

Étape 4

Le nombre total de séquences distinctes est donné par le produit du nombre d'options de chaque étape :

Étape 5

$$N = 5 \times 4^n$$

Étape 6

On sait que ce nombre total vaut $1280$. On obtient donc l'équation :

Étape 7

$$5 \times 4^n = 1280$$

Étape 8

En divisant par $5$ de chaque côté, on isole la puissance de $4$ :

Étape 9

$$4^n = \frac{1280}{5} = 256$$

Étape 10

On calcule ensuite les premières puissances entières de $4$ :

Étape 11

$$4^1 = 4$$, $$4^2 = 16$$, $$4^3 = 64$$, $$4^4 = 256$$

Étape 12

On en déduit ainsi que la valeur de $n$ est $4$.