Exercice : Principes de dénombrement

Étape 1

Pour la première partie de la clé, il s'agit de choisir $3$ chiffres distincts et ordonnés parmi $10$. Le nombre de possibilités pour cette première partie est : $$10 \times 9 \times 8 = 720$$

Étape 2

Pour la deuxième partie, il s'agit de choisir $2$ lettres distinctes et ordonnées parmi un ensemble de $n$ lettres. Le nombre de possibilités est : $$n \times (n - 1)$$

Étape 3

D'après le principe multiplicatif, le nombre total de clés d'accès distinctes s'exprime par : $$720 \times n(n - 1) = 64\,800$$

Étape 4

En divisant chaque membre par $720$, on obtient : $$n(n - 1) = 90$$ Ce qui équivaut à l'équation du second degré : $$n^2 - n - 90 = 0$$

Étape 5

On calcule le discriminant de cette équation : $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-90) = 1 + 360 = 361 = 19^2$$ Les solutions réelles sont : $$n_1 = \frac{1 - 19}{2} = -9 \quad \text{et} \quad n_2 = \frac{1 + 19}{2} = 10$$

Étape 6

Le nombre $n$ représentant un nombre de lettres autorisées, il doit s'agir d'un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On en déduit donc que $n = 10$.