Exercice : Principes de dénombrement

Étape 1

Déterminer un ordre de passage pour les $n$ candidats sans répétition revient à ordonner tous les éléments d'un ensemble à $n$ éléments. Il s'agit d'une permutation de cet ensemble.

Étape 2

Le nombre total de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est donné par $n!$ (factorielle $n$).

Étape 3

D'après l'énoncé, le nombre total d'ordres de passage est égal à $720$. On cherche donc l'entier naturel $n$ vérifiant l'équation :

Étape 4

$$n! = 720$$

Étape 5

Calculons les valeurs successives de la factorielle pour les premiers entiers positifs :

Étape 6

Pour $n = 1$ : $1! = 1$.

Étape 7

Pour $n = 2$ : $2! = 2 \times 1 = 2$.

Étape 8

Pour $n = 3$ : $3! = 3 \times 2 = 6$.

Étape 9

Pour $n = 4$ : $4! = 4 \times 6 = 24$.

Étape 10

Pour $n = 5$ : $5! = 5 \times 24 = 120$.

Étape 11

Pour $n = 6$ : $6! = 6 \times 120 = 720$.

Étape 12

L'égalité $n! = 720$ est donc vérifiée pour $n = 6$. Le nombre de candidats inscrits à ce concours est égal à $6$.