Exercice : Principes de dénombrement

Étape 1

Soit $E$ un ensemble fini contenant $n$ éléments ($n \ge 1$).

Étape 2

Un $4$-uplet d'éléments de $E$ est une liste ordonnée de $4$ éléments choisis parmi $n$, avec répétition possible. D'après le principe multiplicatif, le nombre total de $4$-uplets est : $$n \times n \times n \times n = n^4$$

Étape 3

Une permutation de $E$ est une liste ordonnée des $n$ éléments de $E$ sans répétition. Son nombre est donné par la factorielle de $n$ : $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$$

Étape 4

La conjecture affirme que pour tout $n \ge 1$, on a $n^4 \ge n!$. Testons cette inégalité pour les premiers entiers naturels :

Étape 5

Pour $n = 1$ : $1^4 = 1$ et $1! = 1$. L'inégalité $1 \ge 1$ est vérifiée.

Étape 6

Pour $n = 2$ : $2^4 = 16$ et $2! = 2$. L'inégalité $16 \ge 2$ est vérifiée.

Étape 7

Pour $n = 3$ : $3^4 = 81$ et $3! = 6$. L'inégalité $81 \ge 6$ est vérifiée.

Étape 8

Pour $n = 4$ : $4^4 = 256$ et $4! = 24$. L'inégalité $256 \ge 24$ est vérifiée.

Étape 9

Pour $n = 5$ : $5^4 = 625$ et $5! = 120$. L'inégalité $625 \ge 120$ est vérifiée.

Étape 10

Pour $n = 6$ : $6^4 = 1296$ et $6! = 720$. L'inégalité $1296 \ge 720$ est vérifiée.

Étape 11

Pour $n = 7$ : $7^4 = 2401$ et $7! = 5040$. On constate que $2401 < 5040$, ce qui signifie que $7^4 < 7!$.

Étape 12

L'inégalité est donc fausse pour $n = 7$. Le plus petit entier naturel constituant un contre-exemple est $7$.