Exercice : Combinaisons et triangle de Pascal

Étape 1

Soit $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ un quadruplet vérifiant les contraintes $x_1 \ge 1$, $x_2 \ge 2$, $x_3 \ge 0$ et $x_4 \ge 0$. Posons le changement de variables suivant : $$y_1 = x_1 - 1 \ge 0$$ $$y_2 = x_2 - 2 \ge 0$$ $$y_3 = x_3 \ge 0$$ $$y_4 = x_4 \ge 0$$

Étape 2

L'équation $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = S$ devient alors : $$(y_1 + 1) + (y_2 + 2) + y_3 + y_4 = S$$ ce qui équivaut à : $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = S - 3$$ où $y_1, y_2, y_3, y_4$ sont des entiers naturels. Cette équation possède des solutions si et seulement si $S - 3 \ge 0$, c'est-à-dire $S \ge 3$.

Étape 3

D'après le rappel, le nombre de quadruplets d'entiers naturels $(y_1, y_2, y_3, y_4)$ vérifiant $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = S - 3$ avec $n = 4$ et $k = S - 3$ est donné par : $$N(S) = \binom{4 + (S - 3) - 1}{S - 3} = \binom{S}{S - 3}$$

Étape 4

Par la propriété de symétrie des coefficients binomiaux, on a $\binom{S}{S - 3} = \binom{S}{3}$. D'où : $$N(S) = \frac{S(S - 1)(S - 2)}{3!} = \frac{S(S - 1)(S - 2)}{6}$$

Étape 5

On cherche le plus petit entier $S \ge 3$ tel que $N(S) \ge 200$, ce qui équivaut à : $$S(S - 1)(S - 2) \ge 1200$$

Étape 6

Étudions le produit de trois entiers consécutifs $P(S) = S(S - 1)(S - 2)$ pour les premières valeurs entières de $S$ : Pour $S = 10$, $P(10) = 10 \times 9 \times 8 = 720 < 1200$. Pour $S = 11$, $P(11) = 11 \times 10 \times 9 = 990 < 1200$. Pour $S = 12$, $P(12) = 12 \times 11 \times 10 = 1320 \ge 1200$.

Étape 7

La fonction $S \mapsto S(S - 1)(S - 2)$ étant strictement croissante sur $[2, +\infty[$, la valeur minimale de $S$ recherchée est $12$.