Exercice : Combinaisons et triangle de Pascal

Étape 1

D'après le cours, pour tout entier naturel $n$ et pour tout entier $k$ tel que $0 \le k \le n$, la propriété de symétrie des combinaisons s'écrit :

Étape 2

$$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$

Étape 3

On cherche l'entier $n \ge 5$ vérifiant l'égalité :

Étape 4

$$\binom{n}{3} = \binom{n}{5}$$

Étape 5

En appliquant la propriété de symétrie au membre de gauche, on a $\binom{n}{3} = \binom{n}{n-3}$. L'égalité devient donc :

Étape 6

$$\binom{n}{n-3} = \binom{n}{5}$$

Étape 7

Deux combinaisons d'ordre $a$ et $b$ d'un même ensemble à $n$ éléments sont égales si et seulement si leurs indices inférieurs sont égaux ou symétriques. Comme $3 \neq 5$, cela exige :

Étape 8

$$n - 3 = 5$$

Étape 9

Ce qui équivaut à $n = 5 + 3 = 8$.

Étape 10

On vérifie bien que $\binom{8}{3} = 56$ et $\binom{8}{5} = 56$. La valeur de $n$ est donc 8.