Exercice : Combinaisons et triangle de Pascal

Étape 1

Pour tout entier naturel $n \ge 3$, d'après la relation de Pascal appliquée à $k = 2$, on a :$$\binom{n}{2} + \binom{n}{3} = \binom{n+1}{3}$$

Étape 2

L'équation de l'énoncé devient donc :$$\binom{n+1}{3} = 120$$

Étape 3

En utilisant la formule explicite des combinaisons, cela s'écrit :$$\frac{(n+1)n(n-1)}{3 \times 2 \times 1} = 120$$ce qui équivaut à :$$(n-1)n(n+1) = 720$$

Étape 4

Le membre de gauche est le produit de trois entiers consécutifs $(n-1)$, $n$ et $(n+1)$. En décomposant $720$ en produit de trois entiers consécutifs, on obtient :$$8 \times 9 \times 10 = 720$$

Étape 5

Par identification des facteurs consécutifs, on conclut que $n = 9$.