Exercice algorithme, combinatoire, parties — Combinaisons et triangle de Pascal (Terminale Spécialité)

★★ Avancé

On considère la fonction Python suivante conçue pour générer toutes les parties à $2$ éléments d'un ensemble de $n$ éléments distincts :

def generer_parties(n):
    L = []
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i + 1, n + 1):
            L.append((i, j))
    return L

Lorsqu'on exécute la commande len(generer_parties(n)) pour un entier $n \geqslant 2$, le programme renvoie la valeur $28$.

Déterminer la valeur de l'entier $n$.

Saisir la valeur de n.

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Réponse finale

Étape 1

Analyse de l'algorithme : La fonction `generer_parties(n)` utilise deux boucles imbriquées. Pour chaque indice $i$ allant de $1$ à $n$, l'indice $j$ prend toutes les valeurs strictement supérieures à $i$, allant de $i + 1$ à $n$.

Étape 2

Chaque couple $(i, j)$ ajouté à la liste $L$ représente donc le choix de $2$ éléments distincts sans ordre parmi l'ensemble $\{1, 2, \dots, n\}$. La longueur de la liste $L$ correspond au nombre de combinaisons de $2$ éléments parmi $n$, noté $\binom{n}{2}$.

Étape 3

On sait que pour tout entier $n \geqslant 2$ : $$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$

Étape 4

D'après l'énoncé, la commande `len(generer_parties(n))` renvoie $28$, ce qui équivaut à résoudre l'équation : $$\frac{n(n-1)}{2} = 28$$

Étape 5

En multipliant par $2$ de chaque côté, on obtient : $$n(n-1) = 56$$

Étape 6

On cherche deux entiers consécutifs dont le produit est $56$. Comme $8 \times 7 = 56$, on en déduit que $n = 8$.

Méthode clé

Relier le nombre d'itérations des deux boucles imbriquées au nombre de paires non ordonnées d'éléments distincts, soit $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Piège à éviter

Confondre le nombre de paires (combinaisons) et le nombre de couples ordonnés (qui vaudrait $n(n-1)$).

Série en jeu !

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Exercice : Combinaisons et triangle de Pascal

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