Étape 1
Pour tous entiers $a_n = 11n + 4$ et $b_n = 7n + 1$, cherchons une combinaison linéaire éliminant la variable $n$ : $$7 a_n - 11 b_n = 7(11n + 4) - 11(7n + 1) = 77n + 28 - 77n - 11 = 17$$
Étape 2
Soit $d$ un diviseur commun à $a_n$ et $b_n$. D'après les propriétés de la divisibilité, $d$ divise toute combinaison linéaire de $a_n$ et $b_n$, donc $d$ divise $17$. Comme $17$ est un nombre premier, les seuls diviseurs positifs de $17$ sont $1$ et $17$. Ainsi, le plus grand commun diviseur $\text{PGCD}(a_n, b_n)$ ne peut être égal qu'à $1$ ou $17$.
Étape 3
Les entiers $a_n$ et $b_n$ ne sont pas premiers entre eux si et seulement si leur PGCD est égal à $17$. Cela signifie que $17$ divise $b_n$, ce qui traduit par la congruence : $$7n + 1 \equiv 0 \pmod{17}$$ soit $7n \equiv -1 \pmod{17}$, ce qui équivaut à $7n \equiv 16 \pmod{17}$.
Étape 4
Pour résoudre cette congruence, cherchons un inverse de $7$ modulo $17$. On remarque que $5 \times 7 = 35$, et $35 = 2 \times 17 + 1$, donc $5 \times 7 \equiv 1 \pmod{17}$. En multipliant chaque membre de la congruence par $5$, il vient : $$35n \equiv 5 \times 16 \pmod{17}$$ Ce qui donne $n \equiv 80 \pmod{17}$. Or $80 = 4 \times 17 + 12$, d'où $80 \equiv 12 \pmod{17}$. Ainsi, $a_n$ et $b_n$ ne sont pas premiers entre eux si et seulement si : $$n \equiv 12 \pmod{17}$$
Étape 5
Le plus petit entier naturel non nul satisfaisant cette condition est $n = 12$. Pour cette valeur, on a $a_{12} = 136 = 17 \times 8$ et $b_{12} = 85 = 17 \times 5$, leur PGCD vaut bien $17$. L'entier recherché est donc $12$.
Méthode clé
Pour étudier le PGCD de deux expressions de la forme $An+B$ et $Cn+D$, on cherche une combinaison linéaire $u \cdot a_n + v \cdot b_n = K$ éliminant $n$. Tout diviseur commun à $a_n$ et $b_n$ doit alors diviser la constante $K$.
Piège à éviter
Tester uniquement les premières valeurs de $n$ et conclure hâtivement que la propriété est toujours vraie, ou oublier de vérifier que le diviseur trouvé divise simultanément les deux termes.
