Étape 1
Le nombre $11$ est un nombre premier qui ne divise pas $7$. D'après le petit théorème de Fermat, on a : $$7^{10} \equiv 1 \pmod{11}$$
Étape 2
Effectuons la division euclidienne de $2027$ par $10$ : $$2027 = 202 \times 10 + 7$$ On en déduit la décomposition de la puissance : $$7^{2027 + n} = 7^{202 \times 10 + 7 + n} = (7^{10})^{202} \times 7^{7 + n}$$ Par conséquent, en passant modulo $11$ : $$7^{2027 + n} \equiv 1^{202} \times 7^{7 + n} \equiv 7^{7 + n} \pmod{11}$$
Étape 3
Calculons les premiers restes successifs de $7^k \pmod{11}$ pour $k \in \{0, 1, 2, 3\}$ : $$7^0 \equiv 1 \pmod{11}$$ $$7^1 \equiv 7 \pmod{11}$$ $$7^2 = 49 \equiv 5 \pmod{11}$$ $$7^3 = 343 \equiv 2 \pmod{11}$$ Le reste cherché est $2$, qui correspond à un exposant congru à $3$ modulo $10$.
Étape 4
L'équation $7^{7+n} \equiv 2 \pmod{11}$ équivaut donc à la congruence sur les exposants : $$7 + n \equiv 3 \pmod{10}$$ Ce qui donne : $$n \equiv 3 - 7 \equiv -4 \equiv 6 \pmod{10}$$ Comme $n$ est un entier compris entre $1$ et $9$, la seule valeur possible est $n = 6$.
Méthode clé
Puisque $p = 11$ est premier et ne divise pas $a = 7$, utiliser $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ pour simplifier l'exposant modulo $p-1 = 10$.
Piège à éviter
Confondre le modulo du résultat ($11$) et le modulo de la réduction de l'exposant ($11 - 1 = 10$).
